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出品：科普中國

作者：Denovo

監製：中國科普博覽

你或許也有過這樣的經曆：搬家時，想在狹窄的空間裏移動家具，結果在轉彎時被卡住，怎麽(me) 轉都轉不過去。數學家將這一難題稱為(wei) “移動沙發問題”。

2024年12月2日，韓國數學家白真允（Jineon Baek）在社交媒體(ti) 上宣稱自己已解決(jue) 這一問題，隨即在國內(nei) 外媒體(ti) 和數學界引發廣泛討論。也許你會(hui) 好奇：看似一個(ge) 與(yu) 日常生活緊密相關(guan) 的小問題，到底有多難？

移動沙發問題涉及形狀如何適應拐角的數學問題

（圖片來源：加州大學戴維斯分校）

“移動沙發問題”是什麽(me) ？

事實上，“移動沙發問題”是一個(ge) 經曆了許多討論與(yu) 探索的問題。早在20世紀60年代，一些數學家就已經開始探討與(yu) 這一問題相關(guan) 的幾何優(you) 化問題。

1966年，奧地利裔加拿大數學家李奧·莫澤（Leo Moser）在正式的數學刊物中首次提出了“移動沙發問題”的明確數學定義(yi) 和問題描述：在寬度為(wei) 1的L形平麵走廊中，能夠通過一個(ge) 直角轉彎而不發生碰撞的“沙發”的最大麵積是多少？這一問題自此引起了數學界的廣泛關(guan) 注，並成為(wei) 經典的幾何優(you) 化問題之一。

移動沙發問題演示

（圖片來源：文獻[1]）

1968年，英國數學家約翰·邁克爾·哈默斯利（John Michael Hammersley）根據最簡單的情形提出了一種解法。他將“沙發”設計成類似於(yu) 一個(ge) 電話聽筒的形狀，由兩(liang) 個(ge) 四分之一圓和一個(ge) 中間的矩形塊組成，中間的矩形塊中挖去了一個(ge) 半圓形，從(cong) 而得出的“沙發”最大麵積為(wei)

。

哈默斯利設計的“沙發”

（圖片來源：維基百科）

1992年，美國數學家約瑟夫·傑弗（Joseph Gerver）在哈默斯利設計的“沙發”的基礎上進行了改進，提出了一種由18條光滑曲線圍成的“沙發”，算出的最大沙發麵積約為(wei) 2.2195，進一步提高了這個(ge) 問題解的下限。

傑弗設計的“沙發”

（圖片來源：維基百科）

又到了2014年，業(ye) 餘(yu) 數學家菲利普·吉布斯（Philip Gibbs）通過計算機演算得出了一種最優(you) 沙發形狀，其與(yu) 約瑟夫·傑弗（Joseph Gerver）設計的“Gerver沙發”幾乎相同，且計算出的麵積在八位有效數字下相同。這一發現表明，傑弗設計的“沙發”很可能就是移動沙發問題的最優(you) 解，不過這一點尚未得到數學上的正式證明。

不過，科學家們(men) 至少已經確定了“沙發”麵積的一個(ge) 上限，也就是這個(ge) 麵積最大不能超過多少。哈默斯利指出了沙發常數的上限最多為(wei) 2√2≈2.8284。2018年，約阿夫·卡魯斯（Yoav Kallus）和丹·羅米奇（Dan Romik）通過將走廊（而不是沙發）旋轉幾個(ge) 不同角度，使旋轉後的走廊交集形成盡可能大的連接區域，並利用計算機搜索，成功將“沙發”的上限縮小至2.37。

也就是說，“移動沙發問題”的最優(you) 解在2.2195～2.37之間。

“移動沙發問題”到底難在哪？

看到這裏，你可能會(hui) 問：“移動沙發問題”看起來如此直觀簡單，為(wei) 什麽(me) 卻困擾數學家超過半個(ge) 世紀？

盡管約瑟夫·傑弗已經提出了一個(ge) 近似最優(you) 解，但要證明它就是真正的最優(you) 解仍然非常困難，因為(wei) 這需要排除所有可能存在的更優(you) 形狀。而在平麵內(nei) ，“沙發”的形狀可以千變萬(wan) 化，最優(you) 解很可能是一個(ge) 不對稱、複雜且不規則的多邊形。

要探索所有可能的形狀並評估其麵積和可移動性，涉及極為(wei) 龐大的計算量，這使得窮舉(ju) 所有可能性成為(wei) 不可能。此外，既缺乏對稱性和規則性，又能靈活轉動和移動的形狀在幾何上本身就非常複雜，因此，數學家們(men) 也難以找到一個(ge) 通用的公式來解決(jue) 這一問題。

進入新世紀後，隨著計算機技術的飛速發展，數學家們(men) 開始廣泛采用計算機輔助設計和運動路徑模擬，探索“沙發”可能的形狀。然而，即使是使用計算機輔助的數值方法和優(you) 化算法，現有的算法在排除所有潛在的更優(you) 形狀，以及探索和驗證各種複雜形狀的可行性和麵積時，依然常常麵臨(lin) 計算時間過長和計算資源消耗過大的問題，這在很大程度上限製了進一步研究的進展。

而近年來很火的機器學習(xi) 在解決(jue) “移動沙發問題”時也受到很大限製。機器學習(xi) 模型通常需要大量的數據進行訓練，而“移動沙發問題”的解答主要依賴於(yu) 理論推導和優(you) 化算法生成的有限數據集，難以滿足大規模模型的訓練需求。

此外，數學優(you) 化問題往往需要高度可解釋和精確的解決(jue) 方案，而機器學習(xi) 模型的“黑箱”特性使其可能隻能給出答案，給不出解決(jue) 過程，這使得其難以直接應用於(yu) 此類問題的求解。

“沙發”不僅(jin) 需要通過直角轉彎，還必須避免與(yu) 走廊的牆壁發生碰撞，這些多重約束條件使得優(you) 化過程極為(wei) 複雜。“移動沙發問題”涉及幾何學、優(you) 化理論和計算幾何等多個(ge) 學科的星空体育官网入口网站，因此需要跨學科的研究來尋找解決(jue) 方案。

“移動沙發問題”真的被解決(jue) 了嗎？

讓我們(men) 將目光轉向近期備受關(guan) 注的白真允（Jineon Baek）那篇長達119頁的論文。他宣稱，自己已證明由約瑟夫·傑弗設計的那款“沙發”就是最優(you) 解。

白真允首先提出了最優(you) “沙發”的形狀限製條件：①沙發的形狀可通過旋轉走廊的交集定義(yi) ；②沙發的邊長需滿足特定的平衡條件；③必須能夠旋轉90度完成移動。

接著，他證明了“沙發”在運動過程中，其關(guan) 鍵點的軌跡不自交（即沒有重複或重疊），形成平麵上的簡單閉曲線，從(cong) 而確保了麵積計算的嚴(yan) 謹性。

Q(S)定義(yi) 的圖示

（圖片來源：文獻[1]）

隨後，他構造了一個(ge) 二次函數Q(S)作為(wei) “沙發”麵積的上界，並利用Mamikon定理和Brunn-Minkowski理論證明了Q(S)是凹函數，這意味著它的局部最大值也是全局最大值。

最後，他驗證了傑弗設計的“沙發”完全符合這些條件，且Q(S)的值在此達到最大，確認其麵積2.2195是理論上的最大值。

不過，這篇論文尚未見諸權威期刊，也未經過廣泛的同行評審，目前學界對其證明的正確性和嚴(yan) 謹性仍持觀望態度。要斷言“移動沙發問題”已經徹底解決(jue) ，恐怕還為(wei) 時尚早。

結語

那麽(me) ，徹底解決(jue) 這個(ge) 問題究竟有什麽(me) 意義(yi) 呢？

除了在解決(jue) 過程中開發的工具和構造方法為(wei) 其他幾何優(you) 化問題提供了新的思路外，“移動沙發問題”還可以被抽象為(wei) 一種空間利用的極限優(you) 化模型，對建築設計、家具製造以及物流管理等實際領域具有重要參考價(jia) 值。例如，在狹窄空間中搬運物體(ti) 時快遞機器人的路徑規劃，生產(chan) 流水線上的機械臂搬運不規則物體(ti) 時的空間路徑規劃，就可以從(cong) 這一問題的研究中獲得啟發。

讓我們(men) 靜待數學家們(men) 對白真允論文的審慎驗證，共同期待這一困擾科學界60多年的難題最終得以圓滿解決(jue) 。

參考文獻：

[1] Baek J. Optimality of Gerver's Sofa[J]. arXiv preprint arXiv:2411.19826, 2024.

[2] Gibbs P. A computational study of sofas and cars[J]. Computer Science, 2014, 2: 1-5.

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